Xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra a) \(f\left( x \right) = \left\{

Câu hỏi số 396966:

Vận dụng

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\\sqrt {x + 1} \,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\) tại \(x = 0\).

b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {3x + 10} - x - 4}}\,\,\,khi\,\,x > - 2\\2{x^2} + 6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le - 2\end{array} \right.\) tại \(x = - 2\).

c) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 4\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1\\x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| < 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| = 1\end{array} \right.\) tại \(x = 1,\,\,x = - 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396966

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) và \(x = 0 \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - \cos x} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 1} = 1\end{array}\) .

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại \(x = 0\).

b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) và \(x = - 2 \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {3x + 10} - x - 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {3x + 10} + x + 4} \right)}}{{3x + 10 - {x^2} - 8x - 16}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {3x + 10} + x + 4} \right)}}{{ - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {3x + 10} + x + 4}}{{ - \left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{4}{{ - 1}} = - 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {2{x^2} + 6x} \right) = - 4 = f\left( { - 2} \right)\end{array}\) .

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = - 4\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 2\).

c) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) và \(x = \pm 1 \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 4} \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3\end{array}\) .

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho không liên tục tại \(x = 1\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 4} \right) = 8\end{array}\) .

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho không liên tục tại \(x = - 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.