Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là \(\Delta ABC\) đều cạnh \(3a\). \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA =
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là \(\Delta ABC\) đều cạnh \(3a\). \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) và \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Tính góc giữa:
Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6 dưới đây:
\(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Đáp án đúng là: C
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(SB \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ B \right\}\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Do đó \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {SB;\left( {ABC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA}\).
Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow \widehat {SBA} = {30^0}\).
Đáp án cần chọn là: C
\(SM\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Đáp án đúng là: A
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(SM\) và \(\left( {ABC} \right)\)
Ta có: \(SM \cap \left( {ABC} \right) = \left\{ M \right\}\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Do đó \(AM\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {SM;\left( {ABC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}\).
Xét \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {SMA} = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow \widehat {SMA} = {49^0}6'\).
Đáp án cần chọn là: A
\(SC\) và \(\left( {SBM} \right)\)
Đáp án đúng là: D
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(SC\) và \(\left( {SBM} \right)\)
Kẻ \(CH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) (Vì \(\angle SMC > {90^0}\) nên điểm \(H\) nằm ngoài đoạn thẳng \(SM\)).
Vì \(BM \bot AC,\,\,BM \bot SA\) \( \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow BM \bot CH\).
Vì \(CH \bot SM,\,\,CH \bot BM\) \( \Rightarrow CH \bot \left( {SBM} \right)\).
Ta có: \(SC \cap \left( {SBM} \right) = \left\{ S \right\}\) và \(CH \bot \left( {SBM} \right)\).
Do đó \(SH\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {SBM} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {SC;\left( {SBM} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SC;SH} \right)} = \widehat {CSH} = \widehat {CSM}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \\SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}\end{array}\)
Áp dụng định lí hàm số Cosin trong tam giác \(SMC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \widehat {CSM} = \dfrac{{S{C^2} + S{M^2} - M{C^2}}}{{2.SC.SM}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}}{{2.2a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}}{{2.2a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}}} = \dfrac{{5\sqrt 7 }}{{14}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {CSM} = {19^0}6'\).
Đáp án cần chọn là: D
\(SB\) và \(\left( {SAC} \right)\)
Đáp án đúng là: B
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(SB\) và \(\left( {SAC} \right)\)
Vì \(BM \bot AC,\,\,BM \bot SA\) \( \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)\).
Ta có: \(SB \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ S \right\}\) và \(BM \bot \left( {SAC} \right)\).
Do đó \(SM\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {SAC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {SB;\left( {SAC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SB;SM} \right)} = \widehat {BSM}\).
Xét \(\Delta SBM\) vuông tại \(M\): \(\tan \widehat {BSM} = \dfrac{{BM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}}} = \dfrac{{3\sqrt 7 }}{7}\).
\( \Rightarrow \widehat {BSM} = {48^0}35'\).
Đáp án cần chọn là: B
\(SA\) và \(\left( {SBC} \right)\)
Đáp án đúng là: A
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(SA\) và \(\left( {SBC} \right)\)
Kẻ \(AK \bot SI\,\,\,\left( {K \in SI} \right)\).
Vì \(BC \bot AI,\,\,BC \bot SA\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).
Vì \(AK \bot BC,\,\,AK \bot SI\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\).
Ta có: \(SA \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ S \right\}\) và \(AK \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {SA;\left( {SBC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SA;SK} \right)} = \widehat {ASK} = \widehat {ASI}\).
Xét \(\Delta SAI\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat {ASI} = \dfrac{{AI}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{3}{2}\).
\( \Rightarrow \widehat {ASI} = {56^0}19'\).
Đáp án cần chọn là: A
\(GB\) và \(\left( {SBC} \right)\)
Đáp án đúng là: D
Phương pháp xác định góc giữa đường và mặt.
Bước 1: Tìm giao điểm \(d \cap \left( P \right) = B\) (đỉnh góc)
Bước 2: Từ \(A \in d\), dựng \(AH \bot \left( P \right)\) tại \(H\). Nối \(HB\).
Suy ra \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \(\left( P \right)\).
Bước 3: Vậy \(\left[ {\widehat {d;\left( P \right)}} \right] = \widehat {\left( {AB;HB} \right)} = \widehat {ABH}\).
\(GB\) và \(\left( {SBC} \right)\)
Kẻ \(GE\parallel AK\,\,\left( {E \in SI} \right)\).
Vì \(AK \bot \left( {SBC} \right)\,\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow GE \bot \left( {SBC} \right)\).
Ta có: \(GB \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ B \right\}\) và \(GE \bot \left( {SBC} \right)\).
Do đó \(BE\) là hình chiếu vuông góc của \(BG\) lên \(\left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {\left[ {BG;\left( {SBC} \right)} \right]} = \widehat {\left( {BG;BE} \right)} = \widehat {GBE}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GE}}{{AK}} = \dfrac{{IG}}{{IA}} = \dfrac{1}{3}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAI\) ta có: \(\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{{27{a^2}}}\)
\( \Rightarrow AK = \dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{13}}\)\( \Rightarrow GE = \dfrac{1}{3}AK = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).
\(BG = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta BGE\) vuông tại \(E\): \(\sin \widehat {GBE} = \dfrac{{GE}}{{BG}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {39} }}{{13}}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
\( \Rightarrow \widehat {GBE} = \arcsin \dfrac{{\sqrt 13 }}{3} = {16^0}6'\).
Đáp án cần chọn là: D
Quảng cáo
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
