Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,\,B,\,\,C\) thỏa mãn hệ thức: \(\sin A + \sin B + \sin C = \sin 2A +

Câu hỏi số 398157:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,\,B,\,\,C\) thỏa mãn hệ thức:

\(\sin A + \sin B + \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

Chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398157

Phương pháp giải

Áp dụng công thức \(\sin 2A + \sin 2B = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right)\) để chứng minh \(VP \le VT\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow A = B = C\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin 2A + \sin 2B = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2\sin \left( {\pi - C} \right)\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin C \ge 0\\\cos \left( {A - B} \right) \le 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right) \le 2\sin C\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2B + \sin 2C \le 2\sin A\\\sin 2C + \sin 2A \le 2\sin B\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \le \sin A + \sin B + \sin C\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {A - B} \right) = 1\\\cos \left( {B - C} \right) = 1\\\cos \left( {C - A} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A - B = 0\\B - C = 0\\C - A = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC\) đều.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.