Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,\,B,\,\,C\) thỏa mãn hệ thức: \(\sin A + \sin B + \sin C = \sin 2A +

Câu hỏi số 398157:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có các góc \(A,\,\,B,\,\,C\) thỏa mãn hệ thức:

\(\sin A + \sin B + \sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C\)

Chứng minh tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398157

Phương pháp giải

Áp dụng công thức \(\sin 2A + \sin 2B = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right)\) để chứng minh \(VP \le VT\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow A = B = C\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin 2A + \sin 2B = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2\sin \left( {\pi - C} \right)\cos \left( {A - B} \right)\\ = 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin C \ge 0\\\cos \left( {A - B} \right) \le 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\sin C.\cos \left( {A - B} \right) \le 2\sin C\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2B + \sin 2C \le 2\sin A\\\sin 2C + \sin 2A \le 2\sin B\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \le \sin A + \sin B + \sin C\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {A - B} \right) = 1\\\cos \left( {B - C} \right) = 1\\\cos \left( {C - A} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A - B = 0\\B - C = 0\\C - A = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \Delta ABC\) đều.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10