Cho đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\).
Cho đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\). \(M\)là một điểm trên đoạn thẳng \(CD\), tia \(AM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(N\).
a) Chứng minh tứ giác \(MNBH\) nội tiếp.
b) Chứng minh:\(MC.MD = MA.MN\)
c) Chứng minh:\(AM.AN = A{C^2}\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(MNBH\)có tổng hai góc đối diện là \({180^0}.\)
b) Chứng minh \(\Delta ACM \sim \Delta DNM\,\,\,\left( {g - g} \right)\) và suy ra tỉ số cần tìm.
c) Chứng minh \(\Delta ACM \sim \Delta ANC\,\,\,\left( {g - g} \right)\) và suy ra tỉ số cần tìm.
a) Chứng minh tứ giác \(MNBH\) nội tiếp.
Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle ANB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\( \Rightarrow \angle ANB = {90^0}\,\,\,hay\,\,\,\angle MNB = {90^0}\)
Lại có: \(CD \bot AB = \left\{ H \right\} \Rightarrow \angle CHB = {90^0}\)
Hay \(\angle MHB = {90^0}\)
Xét tứ giác \(MNBH\) ta có:
\(\angle MNB + \angle MHB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow MNBH\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh:\(MC.MD = MA.MN\)
Ta có: \(\angle CAN,\,\,\,\angle CDN\) là các góc nội tiếp chắn cung \(AN\) của \(\left( O \right).\)
\( \Rightarrow \angle CAN = \angle CDN\) (tính chất).
\(\angle ACD,\,\,\,\angle AND\) là các góc nội tiếp chắn cung \(AD\) của \(\left( O \right).\)
\( \Rightarrow \angle ACD = \angle AND\) (tính chất).
Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta DNM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ACM = \angle MND\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle CAM = \angle MDN\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ACM \sim \Delta DNM\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{CM}}{{NM}} \Rightarrow MA.MN = MC.MD\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Vậy \(MC.MD = MA.MN\).
c) Chứng minh:\(AM.AN = A{C^2}\)
Ta có: \(AB \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,\,AB\) là đường kính
\( \Rightarrow A\) là điểm chính giữa của cung \(CD.\)
\( \Rightarrow cung\,\,AC = cung\,\,AD\) (tính chất)
Lại có: \(\angle ACD\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD,\,\,\,\angle ANC\) là góc nội tiếp chắn cung \(AC.\)
\( \Rightarrow \angle ANC = \angle AND\,\,\,hay\,\,\,\angle ANC = \angle ACM.\)
Xét \(\Delta ACN\) và \(\Delta AMC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle ACM = \angle ANC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ACN \sim \Delta AMC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow A{C^2} = AM.AN\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Vậy \(AM.AN = A{C^2}\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
