Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} = 25,\) biết

Câu hỏi số 399040:

Vận dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} = 25,\) biết rằng tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng \(\Delta :\,\,x + 2y - 1 = 0\) một góc \(\alpha \) mà \(\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,y - 5 = 0\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_2}:\,\,4x + 3y = 25 = 0\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,y - 5 = 0\\{d_3}:\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399040

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right).\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

Theo đề bài ta có: \(d\) tạo với \(\Delta \) một góc \(\alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

Giải phương trình để từ đó lập phương trình đường thẳng \(d.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;\,\,2} \right).\) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)

Giả sử tiếp tuyến \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \left( {a;\,\,b} \right)\)

\(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = 5.\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {a + 2b} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left| {a + 2b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4ab = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {3a - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{{3a}}{4}\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;\,\,b} \right)\) \( \Rightarrow d:\,\,\,by + c = 0.\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{b^2}} \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\left| b \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5b\\c = - 5b\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\,\,\,\end{array} \right.\)

+) Với \(b = \frac{{3a}}{4} \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} = \left( {a;\,\frac{{3a}}{4}} \right) = \frac{a}{4}\left( {4;\,\,3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| c \right| = 5\sqrt {{a^2} + \frac{{9{a^2}}}{{16}}} \Leftrightarrow \left| c \right| = \frac{{25}}{4}\left| a \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = \frac{{25a}}{4}\\c = - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c = \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{4}\\c = - \frac{{25a}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y + \frac{{25}}{4} = 0\\{d_4}:\,\,\,x + \frac{3}{4}y - \frac{{25}}{4} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán: \(\left[ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,\,y + 5 = 0\\{d_2}:\,\,\,y - 5 = 0\\{d_3}:\,\,\,4x + 3y + 25 = 0\\{d_4}:\,\,\,4x + 3y - 25 = 0\end{array} \right..\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.