Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\)có góc \(\angle B = {60^0},\) vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính

Câu hỏi số 399933:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\)có góc \(\angle B = {60^0},\) vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\), cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ \(D\) cắt cạnh \(AC\) tại \(E\).

1) Tính số đo cung nhỏ \(AD\), tính số đo\(\angle AOD;\,\,\,\angle ADE.\)

2) Chứng minh \(OAED\) là tứ giác nội tiếp.

3) Chứng minh \(EA = EC.\)

4) Biết \(AB = 12cm;\pi \simeq 3,14\). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ \(AD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399933

Phương pháp giải

1. Số đo một cung bằng góc ở tâm đối diện cung đấy.

2. Tứ giác có 2 góc đối diện bằng nhau và bằng \({90^0}\)thì nội tiếp.

3. Chứng minh \(EA = ED\) rồi suy ra \(E\) là trung điểm của \(AC\)

4. Diện tích hình quạt có số đo \({\alpha ^0}\)là: \(S = \pi .{R^2}.\frac{{{\alpha ^0}}}{{{{360}^0}}}\)

Giải chi tiết

1) Tính số đo cung nhỏ \(AD\), tính số đo\(\angle AOD;\,\,\,\angle ADE.\)

Xét \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle ABD\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(AD\)

\( \Rightarrow cung\,\,\,AD = 2\angle ABD = 2.60 = {120^0}.\)

Lại có: \(\angle AOD\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AD\)

\( \Rightarrow \angle AOD = cung\,\,AD = {120^0}.\)

Mặt khác: \(\angle ADE\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AD.\)

\( \Rightarrow \angle ADE = \frac{1}{2}cung\,\,AD = {60^0}.\)

2) Chứng minh \(OAED\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow ED \bot OD \Rightarrow \angle ODE = {90^0}\\ \Rightarrow \angle ODE = \angle OAE = {90^0}\end{array}\)

Xét tứ giác \(OAED\) ta có: \(\angle ADO + \angle EAD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện.

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(OAED\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

3) Chứng minh \(EA = EC.\)

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta DEO\)có:

\(\begin{array}{l}\angle AEO = \angle EDO = {90^0}\\EO\,chung\\OA = OD\,\,\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEO = \Delta DEO\,\,\,\,\left( {ch - cgv} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow EA = ED\,\,\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại \(E \Rightarrow \angle EAD = \angle EDA\) (hai góc kề đáy).

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DCA + \angle CAD = {90^0}\\\angle CDE + \angle EDA = {90^0}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle ECD = \angle EDC\)

\( \Rightarrow \Delta ECD\) cân tại \(E \Rightarrow EC = ED\) (hai cạnh bên của tam giác cân)

\( \Rightarrow AE = EC\,\,\left( { = ED} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

4) Biết \(AB = 12cm;\pi \simeq 3,14\). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ \(AD\).

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ \(AD\) là:

\(S = \pi {R^2}.\frac{{\angle AOD}}{{{{360}^0}}} = \pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2}.\frac{{{{120}^0}}}{{{{360}^0}}} = 3,{14.6^2}.\frac{1}{3} = 37,68\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \(S = 37,68c{m^2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link