Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(BC\) cố định, \(A\) là điểm di động trên cung
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(BC\) cố định, \(A\) là điểm di động trên cung \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\)nhọn. Hai đường phân giác trong của góc \(A\) và \(B\) cắt nhau ở \(I\)và thứ tự cắt đường tròn ở \(D,E\). Đường thẳng \(DE\) cắt \(BC,AC\) ở \(M,N\).
1. Chứng minh tứ giác \(AENI\) nội tiếp. Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.
2. Chứng minh tứ giác \(CMIN\) là hình thoi.
3. Chứng minh tam giác \(BDI\) cân. Tìm vị trí của \(A\) để \(AI\) có độ dài lớn nhất.
Quảng cáo
1. Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.
2. Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình thoi.
1. Chứng minh tứ giác \(AENI\) nội tiếp. Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.
Ta có \(AD;BE\) là phân giác của góc \(A\) và \(B\) nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}\angle BAD = \angle CAD\\\angle ABE = \angle CBE\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}sdcung\,\,BD = sdcung\,\,CD\\sdcung\,\,AE = sdcung\,\,EC\end{array} \right.\) (tính chất góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau).
Lại có: \(\angle DAC\) là góc nội tiếp chắn cung \(CD\)
Và \(\angle BED\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD\)
\( \Rightarrow \angle DAC = \angle BED\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
Hay \(\angle IAN = \angle IEN.\)
Xét tứ giác \(IAEN\) ta có:
\(\angle IAN = \angle IEN\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
Mà hai góc này là hai góc có đỉnh cùng kề cạnh \(AE\)
\( \Rightarrow IAEN\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb) (đpcm).
Chứng minh tương tự ta có tứ \(BDMI\) cũng là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh tứ giác \(CMIN\) là hình thoi.
Do tứ giác \(AENI\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AEI = \angle ANI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AI\))
Lại có: \(\angle AEI = \angle ACB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của đường tròn \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow \angle ANI = \angle ACB\,\,\,\left( { = \angle AEI} \right)\)
Mà hai góc này là hai góc đồng vị
\( \Rightarrow NI//BC\,\,\,\,hay\,\,\,NI//CM\)
Tương tự ta chứng minh được \(\angle BMI = \angle ACB\,\,\,\,\left( {\angle BDI} \right)\)
\( \Rightarrow IM//AC\,\,\,\,\,hay\,\,\,\,\,IM//CN\)
Xét tứ giác \(IMCN\)có: \(\left\{ \begin{array}{l}NI//CM\\IM//CN\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow IMCN\) là hình bình hành. (dhnb)
Lại có hai đường phân giác trong của góc \(A\) và \(B\) cắt nhau ở \(I\) (gt)
\( \Rightarrow CI\) là đường phân giác của \(\angle BCA\) của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow CI\)là phân giác của góc \(\angle MCN\)
\( \Rightarrow \) Hình bình hành \(INCM\) có đường chéo \(CI\) là đường phân giác của \(\angle MCI\)
\( \Rightarrow IMCN\) là hình thoi. (đpcm)
3. Chứng minh tam giác \(BDI\) cân. Tìm vị trí của \(A\) để \(AI\) có độ dài lớn nhất.
Ta có tứ giác \(BIMD\) là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \angle BID = \angle BMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
\(\angle BMD\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(BD\) và cung \(EC\)
\( \Rightarrow \angle BMD = \frac{1}{2}\left( {cung\,\,BD + cung\,EC} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {cung\,\,CD + cung\,\,EC} \right) = \frac{1}{2}cung\,\,DE\)
Mà \(\angle EBD\) là góc nội tiếp chắn cung \(DE\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle EBD = \angle IBD = \frac{1}{2}\,\,cung\,\,DE\\ \Rightarrow \angle IBD = \angle BMD\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}\,\,cung\,\,DE} \right)\\ \Rightarrow \angle IBD = \angle BID\,\,\,\left( { = \angle BMD} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta BID\) cân tại \(D.\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
