Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 2\)

Câu hỏi số 400242:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 2\) với \(m\) là tham số và \(m \ne 2.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng \(\frac{2}{3}.\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2 - 2\sqrt 2 \\m = 2 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

B. \( m = 2 - 2 \sqrt{2} \)

C. \( m = 2 + 2 \sqrt{2} \)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \\m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400242

Phương pháp giải

Xác định tọa độ giao điểm \(A,\,\,B\) của đường thẳng \(d\) với các trục tọa độ.

Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) ta có: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}.\)

Giải phương trình ẩn \(m\) trên để tìm \(m\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

Gọi giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục hoành là điểm \(A\left( {\frac{{ - 2}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{2}{{m - 2}}} \right|.\)

Gọi giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục tung là điểm \(B\left( {0;2} \right) \Rightarrow OB = 2.\)

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) xuống \(AB\) thì \(OH\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAB\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{{m - 2}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{{{m^2} - 4m + 4}}{4} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - 2\sqrt 2 \,\,\,\left( {\,tm} \right)\\m = 2 + 2\sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 2 - 2\sqrt 2 \\m = 2 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link