Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{

Câu hỏi số 400245:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^3} - {y^3} + x + 4y = 0\\10{x^2} - 7xy + 2{y^2} = 9\end{array} \right..\)

A. \(\left( {\frac{3}{2}; - 3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; 3} \right).\)

B. \(\left( {\frac{3}{2};3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right).\)

C. \(\left( {\frac{3}{4}; - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; 2} \right).\)

D. \(\left( {\frac{3}{4};2} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; - 2} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400245

Phương pháp giải

Biến đổi hệ phương trình, sau đó nhân vế với vế của các phương trình với nhau, đưa phương trình đó về dạng phương trình tích và giải phương trình.

Xét các TH để từ đó giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{x^3} - {y^3} + x + 4y = 0\\10{x^2} - 7xy + 2{y^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4y = - 4{x^3} + {y^3}\\10{x^2} - 7xy + 2{y^2} = 9\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {x + 4y} \right)\left( {10{x^2} - 7xy + 2{y^2}} \right) = 9\left( { - 4{x^3} + {y^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 10{x^3} - 7{x^2}y + 2x{y^2} + 40x{y^2} - 28x{y^2} + 8{y^3} = - 36{x^3} + 9{y^3}\\ \Leftrightarrow 46{x^3} + 33{x^2}y - 26x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 46{x^3} - 23{x^2}y + 56{x^2}y - 28x{y^2} + 2x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 23{x^2}\left( {2x - y} \right) + 28xy\left( {2x - y} \right) + {y^2}\left( {2x - y} \right) = 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {23{x^2} + 28xy + {y^2}} \right) = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y = 0\\23{x^2} + 28xy + {y^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = y\\23{x^2} + 28xy + {y^2} = 0\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(23{x^2} + 28xy + {y^2} = 0\,\,\,\,\left( * \right)\) ta có:

Xét \(y = 0\) ta có hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^3} + x = 0\\10{x^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow y = 0\) không thỏa mãn hệ phương trình.

Xét \(y \ne 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 23{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + 28\frac{x}{y} + 1 = 0.\)

Có \(\Delta ' = {14^2} - 23 = 173 > 0\) nhưng \(173\) không là số chính phương

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\frac{x}{y}\) là các số vô tỉ.

\( \Rightarrow \) Trường hợp này không có cặp nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là các số hữu tỉ.

+) Với \(2x = y,\) thay vào phương trình \(10{x^2} - 7xy + 2{y^2} = 9\) ta có: \(\begin{array}{l}10{x^2} - 7x.2x + 2.4{x^2} = 9 \Leftrightarrow 10{x^2} - 14{x^2} + 8{x^2} = 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = - 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy các cặp số hữu tỉ thỏa mãn đề bài là \(\left( {\frac{3}{2};3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right).\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link