Chứng minh rằng các hàm số sau liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại đó: a)

Câu hỏi số 400420:

Vận dụng

Chứng minh rằng các hàm số sau liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại đó:

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\,\,\,x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) b) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400420

Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm một bên của hàm số:

\(f'\left( {x_0^ + } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}},\) \(f'\left( {x_0^ - } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

- Chứng minh \(f'\left( {x_0^ + } \right) \ne f'\left( {x_0^ - } \right)\).

- Chứng minh hàm số liên tục tại \(x = 0\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\,\,\,x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - x} \right) = 0\\ + \,\,\,f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 1 = 1\end{array}\)

Vì \(f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\) nên không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).

Vậy chứng tỏ hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 0\) (đpcm).

Xét tính liên tục tại \(x = 0\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\) (đpcm).

b) \(f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\).

\(\begin{array}{l} + \,\,\,f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\ + \,\,\,f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\end{array}\)

Vì \(f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\) nên không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).

Vậy chứng tỏ hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 0\) (đpcm).

Xét tính liên tục tại \(x = 0\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\) (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.