Chứng minh rằng các hàm số sau liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại đó:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\,\,\,x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) b) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
Câu 400420: Chứng minh rằng các hàm số sau liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại đó:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\,\,\,x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) b) \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
Quảng cáo
- Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm một bên của hàm số:
\(f'\left( {x_0^ + } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}},\) \(f'\left( {x_0^ - } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
- Chứng minh \(f'\left( {x_0^ + } \right) \ne f'\left( {x_0^ - } \right)\).
- Chứng minh hàm số liên tục tại \(x = 0\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
-
Giải chi tiết:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2}\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\\,\,\,x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\).
\(\begin{array}{l} + \,\,\,f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - x} \right) = 0\\ + \,\,\,f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 1 = 1\end{array}\)
Vì \(f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\) nên không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).
Vậy chứng tỏ hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 0\) (đpcm).
Xét tính liên tục tại \(x = 0\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\) (đpcm).
b) \(f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R},\,\,x = 0 \in D\).
\(\begin{array}{l} + \,\,\,f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\ + \,\,\,f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\end{array}\)
Vì \(f'\left( {{0^ + }} \right) \ne f'\left( {{0^ - }} \right)\) nên không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).
Vậy chứng tỏ hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 0\) (đpcm).
Xét tính liên tục tại \(x = 0\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\) (đpcm).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
