Họ nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}} \,dx\) là:

Câu 400959: Họ nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}} \,dx\) là:

A. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + 3\ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right| + C\).

B. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right| + C\).

C. \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\).

\(x - \ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C\).

Câu hỏi : 400959

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Bậc tử > bậc mẫu \( \Rightarrow \) Chia tử cho mẫu.

- Phân tích mẫu thành nhân tử \({x^2} + x - 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).

- Tách phân thức dưới dấu nguyên hàm thành \(Ax + B + \dfrac{C}{{x - 1}} + \dfrac{D}{{x + 2}}\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\).

- Sử dụng các công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int {xdx} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C,\,\,\int {Bdx} = Bx + C\), \(\int {\dfrac{{dx}}{{x - 1}}} = \ln \left| {x - 1} \right| + C\).

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có : \(\dfrac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}\)\( = \dfrac{{\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right) + 2x - 5}}{{{x^2} + x - 2}}\) \( = x + \dfrac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\).

Đặt \(\dfrac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{x + 2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{A\left( {x + 2} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow 2x - 5 = \left( {A + B} \right)x + 2A - B\end{array}\)

Đồng nhất hệ số 2 vế của phương trình ta được : \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 2\\2A - B = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 1\\B = 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}} = x - \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 2}}\).

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{{x^3} + {x^2} - 5}}{{{x^2} + x - 2}}dx} = \int {\left( {x - \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x + 2}}} \right)dx} \)\( = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x + 2} \right| + C.\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.