Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các điểm \(A,\,\,B\) thay đổi

Câu hỏi số 400975:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các điểm \(A,\,\,B\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau. Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B với trục tung. Có bao nhiêu điểm \(A\) có hoành độ là số nguyên dương sao cho \(EF \le 2020\)?

A. \(10\).

B. \(11\).

C. \(8\).

D. \(7\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:400975

Phương pháp giải

- Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Dựa vào giả thiết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau, tức là \(y'\left( a \right) = y'\left( b \right)\), rút \(b\) theo \(a\).

- Viết phương trình tiếp tuyến tại \(A,\,\,B\) theo tham số \(a\).

- Xác định tọa độ các điểm \(E,\,\,F\) theo tham số \(a\).

- Tính \(EF\) theo tham số \(a\), sử dụng giả thiết \(EF \le 2020\) tìm khoảng giá trị của \(a\), từ đó tìm những số nguyên dương \(a\) thỏa mãn điều kiện tìm được.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3\).

Giả sử hoành độ của \(A,\,\,B\) lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne b} \right)\). Do tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A,\,\,B\) song song với nhau nên

\(y'\left( a \right) = y'\left( b \right) \Leftrightarrow 3{a^2} - 3 = 3{b^2} - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - b\end{array} \right.\)

Ta có: \(A\left( {a;{a^3} - 3a + 1} \right),\,B\left( { - a; - {a^3} + 3a + 1} \right)\) (\(a \in {\mathbb{N}^*}\)).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} - 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x - 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\)là điểm \(E\left( {0; - 2{a^3} + 1} \right)\).

+) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) có phương trình:

\(y = \left( {3{a^2} - 3} \right)\left( {x + a} \right) - {a^3} + 3a + 1 \Leftrightarrow y = \left( {3{a^2} - 3} \right)x + 2{a^3} + 1\)

Giao điểm của tiếp tuyến này với \(Oy\) là điểm \(F\left( {0;2{a^3} + 1} \right)\).

\( \Rightarrow EF = \left| {4{a^3}} \right| = 4{a^3}\,\, \Rightarrow 4{a^3} < 2020\, \Rightarrow a < \sqrt[3]{{505}} \approx 7,96\)

Mà \(a \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;...;7} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị của \(a\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.