Cho số phức \(z\) có tích phần thực và phần ảo bằng \(625\). Gọi \(a\) là phần thực của

Câu hỏi số 402146:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) có tích phần thực và phần ảo bằng \(625\). Gọi \(a\) là phần thực của số phức \(\dfrac{z}{{3 + 4i}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| a \right|\) bằng:

A. \(2\sqrt 3 .\)

B. \(3\sqrt 3 .\)

C. \(\sqrt 3 .\)

D. \(4\sqrt 3 .\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402146

Phương pháp giải

Sử dụng nhân số phức liên hợp và bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\). Theo giả thiết ta có \(xy = 625.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{z}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + yi}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{25}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3x + 4y + \left( { - 4x + 3y} \right)i}}{{25}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3x + 4y}}{{25}} + \dfrac{{ - 4x + 3y}}{{25}}i\end{array}\)

Số phức \(\dfrac{z}{{3 + 4i}}\) có phần thực là \(a = \dfrac{{3x + 4y}}{{25}} \Rightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\left| {3x + 4y} \right|}}{{25}}\).

Ta có: \(xy = 625 \Leftrightarrow y = \dfrac{{625}}{x}\)\( \Rightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\left| {3x + \dfrac{{625}}{x}} \right|}}{{25}}\).

Vì \(3x,\,\,\dfrac{{625}}{x}\) cùng dấu nên \(\left| {3x + \dfrac{{625}}{x}} \right| \ge 2\sqrt {3x.\dfrac{{625}}{x}} = 50\sqrt 3 \).

Vậy \(\left| a \right| \ge 2\sqrt 3 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3x = \dfrac{{625}}{x} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{25}}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.