Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có = 120o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Câu hỏi số 40299:

Cho hình chóp S.ABCD có SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a có $\tiny \widehat{BAD}$ = 120^o. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD) một góc bằng α với cotα = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

A. V_S.ABCD= $\tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$ , d(B; (SAC)) = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. V_S.ABCD = $\tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$ , d(B; (SAC)) = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. V_S.ABCD= $\tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$ , d(B; (SAC)) = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{3}$

D. V_S.ABCD = $\tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$ , d(B; (SAC)) = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40299

Giải chi tiết

Gọi O = AC ∩ BD. Từ giả thiết suy ra AC ⊥ (SBD) tại O nên

$\tiny \angle$ ASO = $\tiny \angle$ (SA;(SBD) = α.

$\tiny \angle$ BAD = 120^o => $\tiny \angle$ ADC = 60^o

=> ∆ADC đều cạnh a.

Suy ra S_ABCD = 2S_ADC= $\tiny \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$ và DO = $\tiny \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , AO = $\tiny \frac{a}{2}$ .

Do đó SO = AO.cotα = $\tiny \frac{3a}{2}$ => SD = $\tiny \sqrt{SO^{2}-OD^{2}}$ = $\tiny \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

Suy ra V_S.ABCD = $\tiny \frac{1}{3}$ SD.S_ABCD = $\tiny \frac{a^{3}}{2\sqrt{2}}$ = $\tiny \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4}$ .

Kẻ DH ⊥ SO. Vì AC ⊥ (SBD) nên AC ⊥ DH. Suy ra DH ⊥ (SAC)

Ta có ∆SDO vuông tại D nên DH = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì O là trung điểm BD nên d(B; (SAC)) = d(D; (SAC))

Từ đó ta suy ra d(B; (SAC)) = $\tiny \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.