Cho < x ≤ và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40306:

Cho $\frac{1}{3}$ < x ≤ $\frac{1}{2}$ và y ≥ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² + y²+ $\frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}$

A. MinP = $\frac{9}{4}$

B. MinP = $\frac{3}{4}$

C. MinP = $\frac{5}{4}$

D. MinP = $\frac{7}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40306

Giải chi tiết

Đặt a = $\frac{1}{x}$ , b = $\frac{1}{y}$ , 0 < b ≤ 1, 2 ≤ a < 3, P = $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(4-a-b)^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho $\frac{1}{b^{2}},\frac{1}{(4-a-b)^{2}}$ ta có:

P ≥ $\frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{(4-a-b)b}$ ≥ $\frac{1}{a^{2}}+\frac{8}{(4-a)^{2}}$ (áp dụng cô si cho 4 - a - b)

≥ $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(4-a)^{2}}+\frac{7}{(4-a)^{2}}$ ≥ $\frac{2}{(4-a)a}+\frac{7}{(4-a)^{2}}$

(cô-si cho $\frac{1}{a^{2}}$ và $\frac{1}{(4-a)^{2}}$ )

≥ $\frac{9}{4}$ ( vì (4 - a)a ≤ 4 và (4 – a )²≤ 4 (với 2 ≤ a < 3)

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \end{matrix}\right.$ tức $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{matrix}\right.$

Vậy MinP = $\frac{9}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.