Cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) và đường thẳng \(\left( d \right):2x

Câu hỏi số 403234:

Vận dụng cao

Cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) và đường thẳng \(\left( d \right):2x - y + m = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( H \right)\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\left( {{x_A} < {x_B}} \right)\), biết rằng \(B{F_2} = 2A{F_1}\), trong đó \({F_1}\left( { - 3;\,\,0} \right),\,\,{F_1}\left( {3;\,\,0} \right)\) là các tiêu điểm của \(\left( H \right)\). Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là:

A. \(2x - y + \frac{{6 + 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\) và \(2x - y + \frac{{ - 6 - 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\)

B. \(2x - y + \frac{{ - 6 + 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\) và \(2x - y + \frac{{6 - 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\)

C. \(2x - y + \frac{{6 + 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\) và \(2x - y - \frac{{ - 6 - 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\)

D. \(2x - y + \frac{{ - 6 + 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\) và \(2x - y + \frac{{ - 6 - 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

+) Chứng minh để \(\left( d \right)\) và \(\left( H \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

+) \(B{F_2} = 2A{F_1} \Leftrightarrow \left| {a - \frac{c}{a}{x_B}} \right| = 2\left| {a + \frac{c}{a}{x_A}} \right|\)

+) Tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Tọa độ của giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( H \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\\2x - y + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}}{8} = 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y + m = 0\end{array} \right.\)

Xét \(\left( 1 \right)\), ta có: \(\Delta = 16{m^2} + 16{m^2} + 32 = 32{m^2} + 32 > 0\)

\( \Rightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra, \(\left( H \right)\) luôn cắt \(\left( d \right)\) tại hai nghiệm phân biệt \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\) \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\).

Ta có: \(B{F_2} = 2A{F_1} \Leftrightarrow \frac{c}{a}{x_B} - a = 2\left( { - a - \frac{c}{a}{x_A}} \right)\)\( \Leftrightarrow 6{x_A} + 3{x_B} + 1 = 0\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = m\\{x_A}{x_B} = - \frac{{{m^2} + 8}}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m = \frac{{ - 6 \pm 16\sqrt 2 }}{{21}}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(2x - y + \frac{{ - 6 + 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\) và \(2x - y + \frac{{ - 6 - 16\sqrt 2 }}{{21}} = 0\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:403234

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.