Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến

Câu hỏi số 403265:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến \(MA,\,\,MB.\) Qua \(M\) kẻ cát tuyến \(MCD\) sao cho \(C\) nằm giữa \(M\) và \(D.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(OM.\) Chứng minh rằng các điểm \(C,\,\,E,\,\,O,\,\,D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi:403265

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\Delta ACM \sim \Delta DAM\), từ đó chứng minh \(\Delta ECM \sim \Delta DOM\).

- Chứng minh tứ giác \(DOEC\) có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta DAM\) có:

\(\angle AMD\) chung;

\(\angle CAM = \angle ADM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACM \sim \Delta DAM\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{AM}}\\ \Rightarrow A{M^2} = MC.MD\end{array}\).

Lại có: Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AE nên \(A{M^2} = ME.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = ME.MO\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{ME}}{{MC}}\end{array}\)

Xét \(\Delta ECM\) và \(\Delta DOM\) có: \(\angle OMD\) chung; \(\dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{ME}}{{MC}}\,\,\left( {cmt} \right)\).

\( \Rightarrow \Delta ECM \sim \Delta DOM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ODC = \angle CEM\) (hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow \)\(DOEC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Vậy \(C,\,\,E,\,\,O,\,\,D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.