Cắt hình nón đỉnh \(I\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác

Câu hỏi số 403573:

Thông hiểu

Cắt hình nón đỉnh \(I\) bởi một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \), \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {IBC} \right)\) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc \({60^0}\). Tính theo \(a\) diện tích \(S\) của tam giác \(IBC\).

A. \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(S = \dfrac{{{a^2}}}{3}\)

C. \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(S = \dfrac{{2{a^2}}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403573

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính độ dài đường cao và cạnh đáy tương ứng của tam giác \(IBC\), từ đó tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

Gọi thiết diện qua trục của hình nón là \(\Delta ICD\).

\(\Delta ICD\) vuông cân tại \(I\) có cạnh huyền \(CD = a\sqrt 2 \Rightarrow IC = ID = a\) và \(IH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\), gọi \(H\) là đường đường tròn đáy của hình nón ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot IE\\BC \bot HE\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {IBC} \right);\left( {HBC} \right)} \right) = \angle \left( {IE;HE} \right) = \angle IEH = {60^0}\).

Xét \({\Delta _v}IHE\) có \(IE = \dfrac{{IE}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

\(HE = IH.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(CHE\) có: \(CE = \sqrt {C{H^2} - H{E^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow BC = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta IBC}} = \dfrac{1}{2}IE.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.