Cho \(\int\limits_0^{\frac{9}{{16}}} {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x + 1}}dx} = \dfrac{{a - b\ln 2}}{c}\)

Câu hỏi số 403589:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_0^{\frac{9}{{16}}} {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x + 1}}dx} = \dfrac{{a - b\ln 2}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{c}\) tối giản. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng:

A. \(43\)

B. \(48\)

C. \(88\)

D. \(33\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403589

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt x \).

- Vi phân hai vế, đổi cận và thay toàn bộ vào tích phân.

- Tính tích phân, đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt x \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + \sqrt x = t\\\sqrt {x +1} - \sqrt x = \dfrac{1}{t}\end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt x = t - \dfrac{1}{t}\)

\( \Rightarrow 4x = {\left( {t - \dfrac{1}{t}} \right)^2} \Rightarrow 4dx = \dfrac{{2\left( {{t^4} - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{9}{{16}} \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{9}{{16}}} {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x + 1}}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^4} - 1}}{{2{t^3}\left( {t + 1} \right)}}dt} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {{t^2} + 1} \right)\left( {t - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^3} - {t^2} + t - 1}}{{{t^3}}}dt} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\left( {1 - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{{{t^3}}}} \right)dt} = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {t - \ln \left| t \right| - \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{2{t^2}}}} \right)} \right|_1^2\\ = \dfrac{{9 - 8\ln 2}}{{16}}\\ \Rightarrow a = 9,\,\,b = 8,\,\,c = 16\end{array}\)

Vậy \(a + b + c = 9 + 8 + 16 = 33\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.