Cho hình nón có chiều cao bằng \(\sqrt 2 \). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh
Cho hình nón có chiều cao bằng \(\sqrt 2 \). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định khoảng cách từ tâm mặt đáy hình nón đến \(\left( \alpha \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) của hình nón.
- Diện tích xung quanh của hình nón có kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\).
Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB\) và \(I\) là tâm đáy của hình nón.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(IM \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IM\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIM} \right)\).
Trong \(\left( {SIM} \right)\) kẻ \(IH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {SIM} \right)} \right)\\IH \bot SM\end{array} \right.\) \( \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = IH = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SIM\) ta có:
\(\dfrac{1}{{M{I^2}}} = \dfrac{1}{{I{H^2}}} - \dfrac{1}{{S{I^2}}} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow MI = 2\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SIM\) ta có: \(SM = \sqrt {S{I^2} + M{I^2}} = \sqrt {2 + 4} = \sqrt 6 \).
Vì \(SM\) là đường cao trong tam giác đều \(ABC\) nên \(SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2SM}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 2 = SA = l\).
\( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AB = \sqrt 2 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AIM\) ta có: \(r = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {4 + 2} = \sqrt 6 \).
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\sqrt 6 .2\sqrt 2 = 4\pi \sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
