Biết \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}}

Câu hỏi số 403598:

Vận dụng cao

Biết \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a,\,\,b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\).

A. \(a + b = 13\)

B. \(a + b = 11\)

C. \(a + b = 16\)

D. \(a + b = 14\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403598

Phương pháp giải

- Xét hàm đặc trưng.

- Giải phương trình tìm \({x_1},\,\,{x_2}\), từ đó đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne \dfrac{1}{2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - {\log _7}\left( {2x} \right) + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\infty } \right)\). Mà \(f\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) = f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\)\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}\).

Khi đó ta có:

\({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + 2.\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)\) hoặc

\({x_1} + 2{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + 2.\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {9 - \sqrt 5 } \right)\) (ktm).

\( \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\). Khi đó \(a = 9,\,\,b = 5\).

Vậy \(a + b = 9 + 5 = 14\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.