Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên tia \(BA\) lấy điểm \(C\) nằm ngoài

Câu hỏi số 403750:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên tia \(BA\) lấy điểm \(C\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(C\) kẻ tiếp tuyến \(CE\) và \(CF\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (\(E,\,\,F\) là hai tiếp điểm). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(EF.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(M,\,\,\,N\) \((M\) nằm giữa \(CN).\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(OIMN\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\angle AIM = \angle BIN.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:403750

Phương pháp giải

a) Sử dụng bài toán phương tích chứng minh tam giác đồng dạng, suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Sử dụng câu a để làm câu b.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác \(OIMN\) nội tiếp.

Ta có: \(OE = OF = R \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(EF.\)

Lại có: \(CE = CF\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow C\) thuộc đường trung trực của \(EF.\)

\( \Rightarrow CO\) là đường trung trực của \(EF\)\( \Rightarrow CO \bot EF.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta CEO\) vuông tại \(E\) có đường cao \(CI\) ta có: \(C{E^2} = CI.CO.\)

Xét \(\Delta CME\) và \(\Delta CEN\) ta có:

\(\angle C\,\,\,chung\)

\(\angle CEM = \angle CNE\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung \(EM\))

\( \Rightarrow \Delta CME \sim \Delta CEN\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{CE}}{{CN}} = \frac{{CM}}{{CE}} \Rightarrow C{E^2} = CM.CN\\ \Rightarrow CM.CN = CO.CI\,\,\,\,\left( { = C{E^2}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CM}}{{CO}} = \frac{{CI}}{{CN}}.\end{array}\)

Xét \(\Delta CMI\) và \(\Delta CON\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,\,chung\\\frac{{CM}}{{CO}} = \frac{{CI}}{{CN}}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta CMI \sim \Delta CON\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle CIM = \angle CNO\) (hai góc tương ứng).

Xét tứ giác \(OIMN\) ta có: \(\angle CIM = \angle MNO\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow OIMN\) là tứ giác nội tiếp. (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

b) Chứng minh rằng \(\angle AIM = \angle BIN.\)

Ta có: \(OIMN\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle OIN = \angle OMN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(ON.\) )

Lại có: \(\Delta OMN\) là tam giác cân tại \(O \Rightarrow \angle OMN = \angle ONM\) (tính chất tam giác cân)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AIN = \angle ONM = \angle OMN = \angle OIN\\ \Rightarrow \angle AIN = \angle BIN\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.