Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4.\) Chứng minh:

Câu hỏi số 403752:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4.\) Chứng minh: \(\frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le 1.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:403752

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vớicác số dương \(a,b,c\) ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{{16}}{{a + a + b + c}} \Rightarrow \frac{1}{{2a + b + c}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\) .

Tương tự ta có: \(\frac{1}{{a + 2b + c}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c}} \right),\frac{1}{{a + b + 2c}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{4}{c}} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le \frac{1}{{16}}.4.4\\ \Rightarrow \frac{1}{{2a + b + c}} + \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{a + b + 2c}} \le 1.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{3}{4}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.