Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,\) \(BD = 3a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) theo \(a.\)

Câu 404133: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,\) \(BD = 3a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC.\) Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) theo \(a.\)

A. \(MN = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\)

B. \(MN = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

C. \(MN = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}.\)

D. \(MN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)

Câu hỏi : 404133

Phương pháp giải:

- Gọi P là trung điểm của AC. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh tam giác MNP vuông tại P và tính độ dài NP, MP.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP tính độ dài MN.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó ta có:

+ NP là đường trung bình của tam giác ABC nên NP = \(\dfrac{1}{2}\)AC = \(\dfrac{a}{2}\) và NP // AC.

+ MP là đường trung bình của tam giác ABD nên MP = \(\dfrac{1}{2}\)BD = \(\dfrac{{3a}}{2}\) và MP // BD.

Mà \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(NP \bot MP \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại P.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP có:

\(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.