Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\). Gọi

Câu hỏi số 404151:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,SD\).

1. Chứng minh rằng \(BC \bot AM\) và \(AM \bot \left( {SBC} \right){\rm{.}}\)

2. Gọi số đo góc giữa hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((ABCD)\) là \(\alpha .\) Tính \(\cos \alpha \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404151

Phương pháp giải

1. Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), từ đó suy ra \(BC \bot AM\).

Chứng minh \(AM \bot SB\), từ đó suy ra \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).

2. Chứng minh \(SC \bot \left( {AMN} \right)\).

Sử dụng kết quả: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \angle \left( {a;b} \right)\).

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và công thức \(1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh rằng \(BC \bot AM\) và \(AM \bot \left( {SBC} \right){\rm{.}}\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\).

+ Xét tam giác SAB có: \(SA = AB = a\,\,\left( {gt} \right)\), suy ra tam giác SAB cân tại A.

Do đó trung tuyến AM đồng thời là đường cao, nên \(AM \bot SB\).

Lại có \(AM \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\), do đó \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).

2. Gọi số đo góc giữa hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((ABCD)\) là \(\alpha .\) Tính \(\cos \alpha \).

Ta có: \(AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SC\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(AN \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AN \bot SC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot AN\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right)\).

Mặt khác: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\left( {gt} \right)\), do đó: \(\angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SA} \right) = \angle ASC\).

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông SAC có: \(\tan \angle ASC = \dfrac{{AC}}{{SA}} = \sqrt 2 \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \).

Vậy \(\cos \alpha = \sqrt {\dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.