Cho 3 số dương x, y , z có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức: ≤

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40449:

Cho 3 số dương x, y , z có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức:

$\tiny \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}$ ≤ $\tiny \frac{3}{2}$

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40449

Giải chi tiết

Ta có: x + y + z = 1 => z = 1 - x - y => xy + z = (1 - x)(1 - y)

=> $\tiny \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}$ = $\sqrt{\frac{xy}{(1-x)(1-y)}}$ = $\sqrt{\frac{y}{1-x}\frac{x}{1-y}}$

≤ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{y}{1-x}$ + $\frac{x}{1-y} \right$ )

Tương tự: $\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}$ ≤ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{z}{1-y}$ + $\frac{y}{1-z}$ ) ;

$\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}$ ≤ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{z}{1-x} +\frac{x}{1-z}\right$ )

=> VT ≤ $\frac{1}{2}$ ( $\frac{y+z}{1-x} +\frac{x+z}{1-y}+\frac{x+y}{1-z}\right$ ) = $\frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = $\tiny \frac{1}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.