Giải hệ phương trình với x, y ∈ R ;

Câu hỏi số 40456:

$\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y} \\ \end{cases}$

A. (x; y) = (2; 2)

B. (x; y) = (3; 5)

C. (x; y) = (4; 2)

D. (x; y) = (1; 3)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40456

Giải chi tiết

Giải hệ phương trình với x, y ∈ R

$\begin{cases} x^{2}y-2x^{2}-2y^{2}+5y-2=0 \: \: \: (1)\\ \sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{x-y}=2xy-x^{2}+\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+1}+\sqrt{y}\: \: \: \: \: (2) \\ \end{cases}$

Từ phương trình (2) ta có điều kiện: x ≥ y , y ≥ 0

$\sqrt{y^{2}+1}$ - √y - y² = $\sqrt{(x-y)^{2}+1}-\sqrt{x-y}$ - (x – y)²

Xét hàm số f(t) = $\sqrt{t^{2}+1}$ - √t - t² liên tục [0; +∞ )

Có f'(t) = $\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}-\frac{1}{2\sqrt{t}}$ - 2t = t( $\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}$ - 2) - $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ < 0, ∀t > 0

Suy ra hàm số nghịch biến (0; +∞ ) nên f(y) = f(x - y) <=> x = 2y

Thay vào (1) ta có (y – 2)(x² – x + 1) = 0 <=> y = 2 => x = 4

Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4; 2).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.