Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({4^x} - m{.2^x} - m + 3 = 0\)

Câu hỏi số 404574:

Vận dụng

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({4^x} - m{.2^x} - m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Số tập con của tập hợp S là:

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404574

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {2^x}\), xác định khoảng giá trị của \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Khảo sát và lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Phương trình đã cho tương đương với \({2^{2x}} - m{.2^x} - m + 3 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {2^x}\), với \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\), khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{t^2} - mt - m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) = {t^2} + 3\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}\,\,\forall t \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}},\,\,t \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{2t\left( {t + 1} \right) - {t^2} - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Phương trình (1) có hai nghiệm thuộc \(\left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\).

Dựa vào BBT ta có: \(2 < m < \dfrac{{13}}{6}\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \emptyset \).

Vậy tập hợp S chỉ có 1 tập con duy nhất là chính nó.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.