Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}_ + ^*\). Biết \(\sin 2x\) là một nguyên hàm

Câu hỏi số 404575:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}_ + ^*\). Biết \(\sin 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:

A. \(2x\cos 2x.\ln x + \sin 2x + C\)

B. \(2x\sin 2x.\ln x - \cos 2x + C\)

C. \(2x\cos 2x.\ln x - \sin 2x + C\)

D. \( - 2x\cos 2x.\ln x + \sin 2x + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404575

Phương pháp giải

- \(\sin 2x\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\), từ đó tìm \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có: \(\left( {\sin 2x} \right)' = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = 2\cos 2x \Rightarrow f\left( x \right) = 2x\cos 2x\).

Xét \(I = \int {f'\left( x \right)\ln xdx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}I = f\left( x \right)\ln x - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - 2\int {\cos 2xdx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - \sin 2x + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.