Biết phương trình \({\log _5}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} -

Câu hỏi số 404578:

Vận dụng cao

Biết phương trình \({\log _5}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x = a + b\sqrt 2 \) trong đó a, b là các số nguyên. Tính \(2a + b\).

A. 3

B. 8

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404578

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _5}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _5}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

ĐKXĐ: \(x > 1\).

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right)\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right)\) với \(t > 1\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + \dfrac{2}{{\left( {t - 1} \right)\ln 3}} > 0\,\,\forall t > 1\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 1 = x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1 - \sqrt 2 < 0\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\).

Vậy \(2a + b = 2.3 + 2 = 8.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.