Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(5f\left( x

Câu hỏi số 404579:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{a}{b}\), với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(8a - 3b\) là:

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(16\)

D. \( - 16\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404579

Giải chi tiết

Ta có \(5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

Thay \(x\) bởi \(1 - x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,5f\left( {1 - x} \right) - 7f\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 2x + 1 - 2 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 5f\left( {1 - x} \right) - 7f\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)\end{array}\)

Do đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5f\left( x \right) - 7f\left( {1 - x} \right) = 3\left( {{x^2} - 2x} \right)\\5f\left( {1 - x} \right) - 7f\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)\end{array} \right.\) .

Suy ra

\(\begin{array}{l}25f\left( x \right) - 49f\left( x \right) = 15\left( {} \right){x^2} - 2x + 21\left( {{x^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow - 24f\left( x \right) = 36{x^2} - 30x - 21\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8}\left( {12{x^2} - 10x - 7} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}\left( {12x - 5} \right)\end{array}\)

Do đó \( - \dfrac{a}{b} = \int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {x\left( {12x - 5} \right)dx} = - \dfrac{3}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 8\end{array} \right.\).

Vậy \(8a - 3b = 8.3 - 3.8 = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.