Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

Câu hỏi số 404596:

Thông hiểu

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

a) \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\)

b) \({u_n} = {3^n} - 7\)

c) \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\)

d) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404596

Giải chi tiết

a) 5 số hạng đầu của dãy là: \({10^{ - 1}},\,\,{10^{ - 3}},\,\,{10^{ - 5}},\,\,{10^{ - 7}},\,\,{10^{ - 9}}\)

Do \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên ta có thể

Xét tỉ số \(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = {10^{1 - 2n - 2 - 1 + 2n}} = {10^{ - 2}}\).

Dễ thấy \(T < 1\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \({u_{n + 1}} < {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\) là dãy số giảm

b) 5 số hạng đầu của dãy là: \( - 4,2,20,74,236\).

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^n}\left( {3 - 1} \right) = {2.3^n}\)

Do \(H > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) vậy \({u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Kết luận: Dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) 5 số hạng đầu của dãy là: \(3,\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{9},\dfrac{9}{{16}},\dfrac{{11}}{{25}}\).

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2n + 3}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}} = \dfrac{{2{n^3} + 3{n^2} - \left( {2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{n^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{n^3} + 3{n^2} - 2{n^3} - 4{n^2} - 2n - {n^2} - 2n - 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{n^2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 2{n^2} - 4n - 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}{n^2}}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dễ thấy \(H < 0\) nên \({u_{n + 1}} < {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{{n^2}}}\) là dãy số giảm.

d) 5 số hạng đầu của dãy là: \(\dfrac{3}{2},\,\,\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\,\,\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\,\,\dfrac{{81}}{8},\,\,\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}\).

Do \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên ta có thể

Xét tỉ số \(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }} = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }}\).

Dễ thấy \(T > 1\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \({u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = {10^{1 - 2n}}\) là dãy số tăng.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.