Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): a) \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{5n +

Câu hỏi số 404598:

Thông hiểu

Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\):

a) \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\)

b) \({u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)

c) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{n^2}}}\)

d) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

e) \({u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{n + n}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404598

Giải chi tiết

a) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \dfrac{{2n + 1}}{{5n + 2}} = \dfrac{{10{n^2} + 19n + 6 - 10{n^2} - 19n - 7}}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} = - \dfrac{1}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}}\).

Do \(H < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\) là dãy số giảm.

b) Ta có: \({u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = \dfrac{{3{n^2} + 3n - 5n - 5 + 6}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \dfrac{6}{{n + 1}}\).

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 + \dfrac{6}{{n + 2}} - 3n + 5 - \dfrac{6}{{n + 1}}\\\,\,\,\,\, = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n + 6 + 6n + 6 - 6n - 12}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\,\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{{3n\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Do \(H > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\) là dãy số tăng.

c) Do \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên ta xét tỉ số

\(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} = \dfrac{{3{n^2}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Với \(n = 1 \Rightarrow T = \dfrac{{{{3.1}^2}}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{4} < 1,\,\,n = 2 \Rightarrow T = \dfrac{{{{3.2}^2}}}{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{12}}{9} > 1\).

Do đó không so sánh được T với 1.

Vậy \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{n^2}}}\) là dãy số không tăng không giảm.

d) Do \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên ta xét tỉ số \(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 2}}}}.\dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = \dfrac{3}{2} > 1\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{n^2}}}\) là dãy số tăng.

e) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\).

\(\begin{array}{l}H = \left( {\dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}} + ... + \dfrac{1}{{n + 1 + n + 1}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{n + n}}} \right)\\H = \dfrac{1}{{2n + 1}} + \dfrac{1}{{2n + 2}} - \dfrac{1}{{n + 1}}\\H = \dfrac{{2n + 2 + 2n + 1 - 2}}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}\\H = \dfrac{{4n + 1}}{{\left( {2n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Do \(H > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({u_n} = \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ... + \dfrac{1}{{n + n}}\) là dãy số tăng.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.