Xét tính bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với: a) \({u_n} = \dfrac{{2{n^2} + n

Câu hỏi số 404599:

Vận dụng

Xét tính bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với:

a) \({u_n} = \dfrac{{2{n^2} + n + 1}}{{n + 2}}\)

b) \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

c) \({u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)

d) \({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404599

Giải chi tiết

\({u_n} = \dfrac{{2{n^2} + n + 1}}{{n + 2}} = \dfrac{{2{n^2} + 4n - 3n - 6 + 7}}{{n + 2}} = 2n - 3 + \dfrac{7}{{n + 2}} = 2n + 4 + \dfrac{7}{{n + 2}} - 7\).

Ta có: \({u_n} = 2n + 4 + \dfrac{7}{{n + 2}} - 7 = \dfrac{7}{9}\left( {n + 2} \right) + \dfrac{7}{{n + 2}} + \dfrac{{11}}{9}\left( {n + 2} \right) - 7\).

\( \Rightarrow {u_n} \ge 2\sqrt {\dfrac{7}{9}\left( {n + 2} \right) + \dfrac{7}{{n + 2}}} + \dfrac{{11}}{9}.3 - 7 = \dfrac{4}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{9}\left( {n + 2} \right) = \dfrac{7}{{n + 2}}\\n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 1\).

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(m = 1\) và dãy số không bị chặn trên.

b) \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} = \dfrac{{{n^2} - {n^2} + 1}}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} \le 1\,\,\forall n \ge 1\).

Vậy dãy số bị chặn trên bởi \(M = 1\) và không bị chặn dưới.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\\{u_n} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\\{u_n} = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \(2n + 1 \ge 3\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2n + 1}} \le \dfrac{1}{3}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

\( \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{2n + 3}} \ge \dfrac{2}{3}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow {u_n} \ge \dfrac{1}{3}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Lại có \(\dfrac{1}{{2n + 1}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{2n + 1}} < 1\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_n} < \dfrac{1}{2}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3} \le {u_n} < \dfrac{1}{2}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số bị chặn trên bởi \(M = \dfrac{1}{2}\) và bị chặn dưới bởi \(m = \dfrac{1}{3}\).

d) Ta có: \({u_n} = \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }}\)

Do \(n \ge 1 \Leftrightarrow {n^2} \ge 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le {u_n} \le \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \le {u_n} \le \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\end{array}\)

Ta có: \(\sqrt {{n^2} + 1} > \sqrt {{n^2}} = 1 \Rightarrow \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} < 1 \Rightarrow {u_n} < 1\).

Do \(n \ge 1 \Leftrightarrow {n^2} \ge n \Leftrightarrow {n^2} + {n^2} \ge n + {n^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} \ge {n^2} + n \Leftrightarrow n\sqrt 2 \ge \sqrt {{n^2} + n} \Leftrightarrow \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow {u_n} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le {u_n} < 1\).

Vậy dãy số bị chặn trên bởi \(M = 1\) và bị chặn dưới bởi \(m = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.