Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n +

Câu hỏi số 404601:

Vận dụng

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}{u_n}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404601

Giải chi tiết

a) 5 số hạng đầu của dãy số là: \(2,\,\,1,\,\,\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{1}{4},\,\,\dfrac{1}{8}\).

b) Ta có thể viết lại như sau:

\(\begin{array}{l}{u_1} = {2^{ - 1 + 2}}\\{u_2} = {2^{ - 2 + 2}}\\{u_3} = {2^{ - 3 + 2}}\\{u_4} = {2^{ - 4 + 2}}\\{u_5} = {2^{ - 5 + 2}}\end{array}\)

Dự đoán công thức SHTQ: \({u_n} = {2^{ - n + 2}}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) (1).

Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Với \(n = 1,\,\,{u_1} = {2^{ - 1 + 2}} = 2\) (Đúng)

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({u_k} = {2^{ - k + 2}}\). Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là \({u_{k + 1}} = {2^{ - \left( {k + 1} \right) + 2}} = {2^{ - k + 1}}\,\,\left( 2 \right)\).

Theo hệ thức truy hồi của dãy số: \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}{u_k} = {2^{ - 1}}{.2^{ - k + 2}} = {2^{ - k + 1}}\).

Vậy (1) đúng \(n \in {\mathbb{N}^*}\), công thức đã được chứng minh.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.