Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n +

Câu hỏi số 404603:

Vận dụng

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi hệ thức \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{1 + {u_n}}}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404603

Giải chi tiết

a) 5 số hạng đầu của dãy số là: \(1,\,\,\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{1}{3},\,\,\dfrac{1}{4},\,\,\dfrac{1}{5}\).

b) Dự đoán công thức SHTQ: \({u_n} = \dfrac{1}{n}\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) (1).

Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Với \(n = 1,\,\,{u_1} = \dfrac{1}{1} = 1\) (Đúng)

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là \({u_k} = \dfrac{1}{k}\). Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{{k + 1}}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Theo hệ thức truy hồi của dãy số: \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k}}}{{1 + {u_k}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{k}}}{{1 + \dfrac{1}{k}}} = \dfrac{1}{k}:\dfrac{{k + 1}}{k} = \dfrac{1}{{k + 1}}\).

Vậy (1) đúng \(n \in {\mathbb{N}^*}\), công thức đã được chứng minh.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.