Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh O, cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt

Câu hỏi số 404638:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh O, cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua O, trung điểm M của SD và vuông góc với đáy. Xác định thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp S.ABCD và tính diện tích thiết diện theo a.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404638

Phương pháp giải

Xác định các đường thẳng vuông góc với (ABCD), sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Chứng minh thiết diện là hình thang vuông. Sử dụng công thức tính diện tích hình thang.

Giải chi tiết

Gọi N và Q lần lượt là trung điểm của AD và SC.

Ta có:

MN là đường trung bình của tam giác SAD \( \Rightarrow MN\parallel SA\). Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow MN \subset \left( \alpha \right)\).

OQ là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow OQ\parallel SA\). Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OQ \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow OQ \subset \left( \alpha \right)\).

Trong (ABCD) kéo dài ON cắt BC tại P.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác MNPQ.

Ta có MQ là đường trung bình của tam giác SCD \( \Rightarrow MQ\parallel CD\).

Lại có NP // CD nên MQ // CD, do đó MNPQ là hình thang.

Mà \(MN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN \bot NP\). Suy ra MNPQ là hình thang vuông.

Ta có: \(MQ = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}a\), \(NP = CD = a\), \(MN = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{1}{2}a\).

Vậy \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}.MN.\left( {MQ + NP} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}a.\left( {\dfrac{1}{2}a + a} \right) = \dfrac{{3{a^2}}}{8}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.