Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết\(AB\,\, = 3cm,\,\,\,BC = 5cm,\) tia phân giác của \(\angle ABC\)

Câu hỏi số 404842:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết\(AB\,\, = 3cm,\,\,\,BC = 5cm,\) tia phân giác của \(\angle ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\).

a) Tính độ dài hai đoạn thẳng \(AC\) và \(AD\)?

b) Vẽ tia \(Cx\) vuông góc tia \(BD\) tại \(E\) và tia \(CE\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(F\).

Chứng minh: \({\rm{\Delta }}ABD{\rm{\sim\Delta }}EBC{\rm{,}}\) rồi tính tỉ số diện tích của \({\rm{\Delta }}ABD\) và \({\rm{\Delta }}EBC.\)

c) Tia \(FD\) cắt \(BC\) tại \(H,\) kẻ đường thẳng qua \(H\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\).

Chứng minh: \(MH.AB = FH.MB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404842

Phương pháp giải

a) Tính \(AC\) bằng cách áp dụng công thức Pitago của tam giác vuông \(ABC.\)

Do \(BD\) là đường phân giác nên \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}}\) và tính chất dãy tỉ số bằng nhau có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{AD + CD}}{{AB + CD}}\) nên tính được \(AD\).

b) Chứng minh \({\rm{\Delta }}ABD{\rm{\sim\Delta }}EBC\) theo trường hợp góc – góc.

Tính \(B{D^2}\) dựa vào Pitago cho tam giác vuông \(ABD.\)

Sử dụng tỉ lệ diện tích \(\frac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta EBC}}}} = {\left( {\frac{{BD}}{{BC}}} \right)^2}.\)

c) Chứng minh \(\Delta BFC\) cân tại \(B\) \( \Rightarrow \)\(FH = CA.\)

Chứng minh \({\rm{\Delta }}MHB{\rm{\sim\Delta }}ACB\) \( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow MH.AB = MB.AC.\)

Từ 2 ý trên suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Tính độ dài hai đoạn thẳng\(AC\) và \(AD\)?

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)\( \Leftrightarrow {5^2} = {3^2} + A{C^2}\)\( \Leftrightarrow A{C^2} = 16 \Rightarrow AC = 4\,\,cm.\)

Vì \(BD\) là phân giác góc \(\angle ABC\) trong tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{AD + CD}}{{AB + CD}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{3} = \frac{{CD}}{5} = \frac{4}{{3 + 5}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow AD = 3.\frac{1}{2} = 1,5\,\,cm.\)

b) Vẽ tia \(Cx\) vuông góc tia \(BD\) tại \(E\) và tia \(CE\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(F\).

Chứng minh: \({\rm{\Delta }}ABD{\rm{\sim\Delta }}EBC{\rm{,}}\) rồi tính tỉ số diện tích của \({\rm{\Delta }}ABD\) và \({\rm{\Delta }}EBC\)

Xét \({\rm{\Delta }}ABD\) và \({\rm{\Delta }}EBC\)ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BAD = \angle BEC\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle ABD = \angle EBC\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABD{\rm{\sim\Delta }}EBC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\)\( \Leftrightarrow B{D^2} = {3^2} + 1,{5^2} = \frac{{45}}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta EBC}}}} = {\left( {\frac{{BD}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{B{D^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{45}}{4}:{5^2} = \frac{9}{{20}}.\)

c) Tia \(FD\) cắt \(BC\) tại \(H\), kẻ đường thẳng qua \(H\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\).

Chứng minh: \(MH.AB = FH.MB.\)

\(\Delta BFC\) có \(BE\) là phân giác đồng thời là đường cao nên \(\Delta BFC\) cân tại \(B\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \) \(FH,CA\) là hai đường cao từ các đỉnh ở đáy của \(\Delta BFC\)\( \Rightarrow \)\(FH = CA\) (tính chất tam giác cân)

Xét \({\rm{\Delta }}MHB\) và \({\rm{\Delta }}ACB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle HMB = \angle CAB\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle ABC\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}MHB{\rm{\sim\Delta }}ACB\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MH}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow MH.AB = MB.AC\) mà \(FH = CA\)

\( \Rightarrow MH.AB = MB.FH\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link