Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40501:

Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0 thì

$\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b+2c}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c+2a}} \right )\left \right )$

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40501

Giải chi tiết

+ Với a > 0, b > 0, c > 0 ta có :

(1)

$\sqrt{a}$ + $2\sqrt{b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{2}\sqrt{2b}$ ≤ $\sqrt{(1+2)(a+2b)}$ + $\sqrt{3(a+2b)}$ (1)

+ Do ( $\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{2}{\sqrt{b}}$ )( $\sqrt{a}$ + $2\sqrt{b}$ )

=( $\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c}}$ )( $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$ ) ≥9

nên $\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{2}{\sqrt{b}}$ ≥ $\frac{9}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{2}{\sqrt{b}}$ ≥ $\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}$ (3)

(Với a > 0, b > 0, c > 0 )

Áp dụng (3) ta có

$\frac{1}{\sqrt{a}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b+2c}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c+2a}} \right )\left \right )$ (điều phải chứng minh)

Dâu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.