Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2a,BC = a\sqrt 2 \). Lấy đoạn AB làm đường kính, dựng về

Câu hỏi số 405338:

Vận dụng cao

Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 2a,BC = a\sqrt 2 \). Lấy đoạn AB làm đường kính, dựng về phía ngoài hình chữ nhật nửa đường tròn. Điểm M thuộc nửa đường tròn đó. Các đường thẳng MD, MC cắt AB lần lượt tại N, L. Chứng minh \(\frac{{A{L^2} + B{N^2}}}{{A{B^2}}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405338

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Ta-lét để chứng minh bài toán.

Giải chi tiết

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CD với MA và MB.

Đặt \(PD = x,\,\,\,CQ = y\,\,\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)

Ta có : \(\angle AMB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\\ \Rightarrow \angle MPQ + \angle MQP = {90^0}\\Hay\,\,\,\angle APD + \angle BQC = {90^0}.\end{array}\)

Lại có : \(\left\{ \begin{array}{l}\angle APD + \angle PAD = {90^0}\\\angle CBQ + \angle CQB = {90^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle APD = \angle QBC.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta APD \sim \Delta QBC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{PD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{QC}} \Leftrightarrow \frac{x}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{y} \Leftrightarrow xy = 2{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P{C^2} + Q{D^2} = {\left( {x + 2a} \right)^2} + {\left( {y + 2a} \right)^2}\\ = {x^2} + {y^2} + 4a\left( {x + y} \right) + 8{a^2}\\ = {\left( {x + y} \right)^2} + 4a\left( {x + y} \right) + 8{a^2} - 2xy\\{\left( {x + y} \right)^2} + 4a\left( {x + y} \right) + 4{a^2}\\ = {\left( {x + y + 2a} \right)^2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = P{Q^2}{\kern 1pt} \,\,\,\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(NL//CD,\) áp dụng định lý Ta-lét, ta có :

\(\frac{{MN}}{{MD}} = \frac{{ML}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MP}} = \frac{{MB}}{{MQ}} = \frac{{AL}}{{PC}} = \frac{{BN}}{{QD}} = \frac{{AB}}{{PQ}}\)

\( \Rightarrow \frac{{A{L^2}}}{{P{C^2}}} = \frac{{B{N^2}}}{{Q{D^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{P{Q^2}}}\) \( = \frac{{A{L^2} + B{N^2}}}{{P{Q^2} + Q{D^2}}} = \frac{{A{L^2} + B{N^2}}}{{P{Q^2}}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\left( 1 \right)} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = A{L^2} + B{N^2} \Rightarrow \frac{{A{L^2} + B{N^2}}}{{A{B^2}}} = 1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link