Trong mặt phẳng cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):2mx

Câu hỏi số 405450:

Vận dụng

Trong mặt phẳng cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):2mx - 2y + 1 = 0\). Với mọi giá trị của \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(N\). Quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) khi \(m\) thay đổi là:

A. \(y = {x^2} - \frac{1}{2}\)

B. \(y = {x^2} + \frac{1}{2}\)

C. \(y = - {x^2} + \frac{1}{2}\)

D. \(y = {x^2} + 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405450

Phương pháp giải

+) Xác định tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\)

Giải chi tiết

Xét parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) có tiêu điểm \(F\left( {0;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Vì \(2m.0 - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua tiêu điểm \(F\).

Tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2mx - 1 = 0\)

Vì với mọi giá trị của \(m\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Vi-et ta có:

\({x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = m\)

Vì \(I \in d\) nên \({y_I} = m.{x_I} + \frac{1}{2} \Rightarrow {y_I} = x_I^2 + \frac{1}{2}\).

Vậy quỹ tích của điểm \(I\) là parabol \(y = {x^2} + \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.