Trong mặt phẳng cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):2mx

Câu hỏi số 405450:

Vận dụng

Trong mặt phẳng cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):2mx - 2y + 1 = 0\). Với mọi giá trị của \(m\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\) và \(N\). Quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) khi \(m\) thay đổi là:

A. \(y = {x^2} - \frac{1}{2}\)

B. \(y = {x^2} + \frac{1}{2}\)

C. \(y = - {x^2} + \frac{1}{2}\)

D. \(y = {x^2} + 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405450

Phương pháp giải

+) Xác định tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\)

Giải chi tiết

Xét parabol \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) có tiêu điểm \(F\left( {0;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Vì \(2m.0 - 2.\frac{1}{2} + 1 = 0\) nên đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua tiêu điểm \(F\).

Tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2mx - 1 = 0\)

Vì với mọi giá trị của \(m\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Vi-et ta có:

\({x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = m\)

Vì \(I \in d\) nên \({y_I} = m.{x_I} + \frac{1}{2} \Rightarrow {y_I} = x_I^2 + \frac{1}{2}\).

Vậy quỹ tích của điểm \(I\) là parabol \(y = {x^2} + \frac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10