Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho \(\frac{{{2^{2020}}}}{{3x + 1}}\) là số nguyên.

Câu hỏi số 405487:

Vận dụng cao

A. \(2019\)

B. \(2020\)

C. \(2021\)

D. \(2022\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405487

Giải chi tiết

Ta xét trường hợp \(3x + 1 = {2^n} \Rightarrow 3x = {2^n} - 1 \Rightarrow x = \frac{{{2^n} - 1}}{3}.\)

Để \(x\) nguyên thì \(\left( {{2^n} - 1} \right) \vdots 3.\)

Có \({2^n} - 1 \equiv {\left( { - 1} \right)^n} - 1\left( {\bmod 3} \right)\).

Nếu \(n\) lẻ thì \({2^n} - 1 \equiv - 2\left( {\bmod 3} \right)\), vô lý.

Nếu \(n\) chẵn thì \({2^n} - 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\), thỏa mãn.

Có 1011 số chẵn trong 2021 số tự nhiên từ 0 đến 2020 nên có 1011 số \(n\) thỏa mãn, suy ra khi đó có 1011 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Ta xét trường hợp \(3x + 1 = - {2^n} \Rightarrow 3x = - {2^n} - 1 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{2^n} + 1} \right)}}{3}.\) Để \(x\) nguyên thì \(\left( {{2^n} + 1} \right) \vdots 3.\)

Có \({2^n} + 1 \equiv {\left( { - 1} \right)^n} + 1\left( {\bmod 3} \right)\).

Nếu \(n\) chẵn thì \({2^n} + 1 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)\), vô lý.

Nếu \(n\) lẻ thì \({2^n} + 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\), thỏa mãn.

Có 1010 số lẻ trong 2021 số tự nhiên từ 0 đến 2020 nên có 1010 số \(n\) thỏa mãn, suy ra khi đó có 1010 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Vậy có tổng cộng 2021 số nguyên \(x\) để \(\frac{{{2^{2020}}}}{{3x + 1}}\) là số nguyên.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link