Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho \(\frac{{{2^{2020}}}}{{3x + 1}}\) là số nguyên.

Câu hỏi số 405487:

Vận dụng cao

A. \(2019\)

B. \(2020\)

C. \(2021\)

D. \(2022\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:405487

Giải chi tiết

Ta xét trường hợp \(3x + 1 = {2^n} \Rightarrow 3x = {2^n} - 1 \Rightarrow x = \frac{{{2^n} - 1}}{3}.\)

Để \(x\) nguyên thì \(\left( {{2^n} - 1} \right) \vdots 3.\)

Có \({2^n} - 1 \equiv {\left( { - 1} \right)^n} - 1\left( {\bmod 3} \right)\).

Nếu \(n\) lẻ thì \({2^n} - 1 \equiv - 2\left( {\bmod 3} \right)\), vô lý.

Nếu \(n\) chẵn thì \({2^n} - 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\), thỏa mãn.

Có 1011 số chẵn trong 2021 số tự nhiên từ 0 đến 2020 nên có 1011 số \(n\) thỏa mãn, suy ra khi đó có 1011 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Ta xét trường hợp \(3x + 1 = - {2^n} \Rightarrow 3x = - {2^n} - 1 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{2^n} + 1} \right)}}{3}.\) Để \(x\) nguyên thì \(\left( {{2^n} + 1} \right) \vdots 3.\)

Có \({2^n} + 1 \equiv {\left( { - 1} \right)^n} + 1\left( {\bmod 3} \right)\).

Nếu \(n\) chẵn thì \({2^n} + 1 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)\), vô lý.

Nếu \(n\) lẻ thì \({2^n} + 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)\), thỏa mãn.

Có 1010 số lẻ trong 2021 số tự nhiên từ 0 đến 2020 nên có 1010 số \(n\) thỏa mãn, suy ra khi đó có 1010 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Vậy có tổng cộng 2021 số nguyên \(x\) để \(\frac{{{2^{2020}}}}{{3x + 1}}\) là số nguyên.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link