Cho hai hàm số \(y = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right|\) và \(y = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m -

Câu hỏi số 407614:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số \(y = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right|\) và \(y = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m - 2020\). Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng:

A. \(506\)

B. \(1011\)

C. \(2020\)

D. \(1010\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407614

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 0,\,\,x \ne 2\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m - 2020\\ \Leftrightarrow \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| - \dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{1}{x} = 4m - 2020\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right| - \dfrac{3}{{x - 2}} + \dfrac{1}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2}}}:\dfrac{{x - 2}}{x} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {x - 2} \right) + 3{x^2} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 3{x^2} - {x^2} + 4x - 4}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{4{x^2} - 4}}{{{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\left[ \begin{array}{l}4m - 2020 = 0\\4m - 2020 = \ln 3\\4m - 2020 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 505\\m = \dfrac{{2020 + \ln 3}}{4} \notin \mathbb{Z}\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 506\end{array} \right.\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(505 + 506 = 1011\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.