Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, tam giác SAB và tam giác SCB lần

Câu hỏi số 407615:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A và C. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng a. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCB) bằng:

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\dfrac{1}{3}\)

C. \(\dfrac{2}{3}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407615

Giải chi tiết

Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\\SB\,\,chung\\AB = CB\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SCB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Trong (SAB) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\), ta dễ dàng chứng minh đươc \(\Delta AHB = \Delta CHB\) \( \Rightarrow CH \bot SB\) và \(CH = AH\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCB} \right) = SB\\AH \subset \left( {SAB} \right);\,\,AH \bot SB\\CH \subset \left( {SCB} \right);\,\,CH \bot SB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCB} \right)} \right) = \angle \left( {AH;CH} \right)\).

Gọi I là trung điểm AC \( \Rightarrow HI \bot AC\) và \(BI \bot AC\) \( \Rightarrow AC\left( {BHI} \right)\).

Trong (BHI) kẻ \(HK \bot BI\,\,\left( {K \in BI} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BI\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {ABC} \right)\).

Đặt \(AH = CH = x\) ta có:

\(\begin{array}{l}HI = \sqrt {A{H^2} - A{I^2}} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} \\BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {2{a^2} - {x^2}} \\BI = \dfrac{1}{2}AC = a\\ \Rightarrow H{I^2} + B{H^2} = {x^2} - {a^2} + 2{a^2} - {x^2} = {a^2} = B{I^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BHI\) vuông tại H (Định lí Pytago đảo).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BHI ta có:

\(HK = \dfrac{{BH.HI}}{{BI}} = \dfrac{{\sqrt {2{a^2} - {x^2}} .\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}{a}\).

Ta có: \(SH \cap \left( {ABC} \right) = B\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{HB}}{{SB}} = \dfrac{{HB}}{{\dfrac{{A{B^2}}}{{HB}}}} = \dfrac{{H{B^2}}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{2{a^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{HK}}{a} = \dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{2{a^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {2{a^2} - {x^2}} .\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}{{{a^2}}} = \dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{2{a^2}}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {a^2}} = \dfrac{{\sqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - {a^2}} \right) = 2{a^2} - {x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} = 6{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{6{a^2}}}{5}\end{array}\)

Xét tam giác AHC có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle AHC = \dfrac{{A{H^2} + C{H^2} - A{C^2}}}{{2A{H^2}}}\\\cos \angle AHC = \dfrac{{\dfrac{{6{a^2}}}{5} + \dfrac{{6{a^2}}}{5} - 4{a^2}}}{{2.\dfrac{{6{a^2}}}{5}}} = - \dfrac{2}{3} < 0\end{array}\)

Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCB} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.