Cho hàm số bậc ba\(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
Cho hàm số bậc ba\(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) sao cho phương trình \(\log _2^3\left( {f(x) + 1} \right) - \log _{\sqrt 2 }^2\left( {f(x) + 1} \right) + (2m - 8){\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {f(x) + 1} + 2m = 0\) có nghiệm \(x \in \)\(\left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Biến đổi phương trình đã cho để tất cả các logarit về cùng cơ số 2, sau đó đặt ẩn phụ \({\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = t\).
- Cô lập tham số m. Lập bảng biến thiên rồi tìm m.
ĐKXĐ: \(f\left( x \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) > - 1\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - \log _{\sqrt 2 }^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + \left( {2m - 8} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {f\left( x \right) + 1} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - 4\log _2^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {2m - 8} \right){\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - 4\log _2^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) - \left( {m - 4} \right){\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 2m = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right).\)
Mà \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) \in \left( { - 1;3} \right) \Rightarrow f\left( x \right) + 1 \in \left( {0;4} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;2} \right)\)
Khi đó ta có phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}{t^3} - 4t - \left( {m - 4} \right)t + 2m = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} - 4t + 4t = mt - 2m\end{array}\)
Với \(t = 2 \Rightarrow 0 = 0\), khi đó \(t = 2\) là một nghiệm của phương trình.
\( \Rightarrow {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) + 1 = 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3\).
Khi đó phương trình có nghiệm \(x = - 1,\,\,x = 3\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \Rightarrow t \ne 2\), khi đó ta có: \(\dfrac{{{t^3} - 4{t^2} + 4t}}{{t - 2}} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t = m\,\,\left( * \right)\)
Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left( { - \infty ;2} \right)\), khi đó \(m \ge - 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 1;5} \right]\).
Mà m nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;..;5} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
