Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 6} \right)x + \dfrac{2}{3}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Câu 410169: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 6} \right)x + \dfrac{2}{3}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
A. \(9\)
B. \(10\)
C. \(6\)
D. \(5\)
Quảng cáo
- Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
- Xét dấu tam thức bậc hai.
-
Đáp án : B(149) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + m + 6\).
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.
\( \Rightarrow {x^2} - 2mx + m + 6 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - m - 6\).
TH1: \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 3\), khi đó \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), trường hợp này thỏa mãn.
TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 2\end{array} \right.\), khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\). Ta có bảng xét dấu như sau:
Do đó để \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \({x_1} < {x_2} \le 0\). Khi đó \(S = {x_1} + {x_2} < 0,\,\,P = {x_1}{x_2} \ge 0\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m < 0\\m + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow - 6 \le m < 0\).
Kết hợp hai trường hợp ta có \( - 6 \le m \le 3\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
