Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, I là trung điểm SC. Hình chiếu vuông góc
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a, I là trung điểm SC. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm của BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (ABC) một góc \({60^0}\). Tính khoảng cách từ I đến (SAB)?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Đổi khoảng cách từ I đến (SAB) sang khoảng cách từ C đến (SAB), sau đó đổi sang khoảng cách từ H đến (SAB), với H là chân đường cao của khối chóp.
- Xác định khoảng cách bằng phương pháp kẻ 3 nét (kẻ \(HM \bot AB,\,\,HK \bot SM\)).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi H là trung điểm của BC ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(IC \cap \left( {SAB} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{IS}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có: \(CH \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Gọi M là trung điểm của AB ta có \(HM\parallel AC\) (do HM là đường trung bình của tam giác ABC).
Mà \(AB \bot AC \Rightarrow HM \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot AB\\SH \bot AB\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right)\).
Trong (SHM) kẻ \(HK \bot SM\,\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot AB\,\,\,\left( {AB \bot \left( {SHM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK \Rightarrow d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).
Ta có: \(AB \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\\HM \subset \left( {ABC} \right),\,\,HM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;HM} \right) = \angle SMH = {60^0}\).
Ta có: \(MH = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\) \( \Rightarrow SH = HM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có: \(HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
