Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là trung điểm của
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Gọi P là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa AP và cắt SD, SB lần lượt tại M và N. Gọi V’ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt \(\dfrac{{SN}}{{SB}} = x,\,\,\dfrac{{SM}}{{SD}} = y\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}x\) \( \Rightarrow {V_{S.ANP}} = \dfrac{x}{2}{V_{S.ABC}} = \dfrac{x}{4}V\).
\(\dfrac{{{V_{S.APM}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SM}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}y\) \( \Rightarrow {V_{S.APM}} = \dfrac{y}{2}{V_{S.ACD}} = \dfrac{y}{4}V\).
\( \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.ANP}} + {V_{S.APM}} = \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{4}} \right)V\).
Tương tự ta có:
\(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SM}}{{SD}} = xy\) \( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = xy{V_{S.ABD}} = \dfrac{{xy}}{2}V\).
\(\dfrac{{{V_{S.NPM}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}}.\dfrac{{SM}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}xy\) \( \Rightarrow {V_{S.NPM}} = \dfrac{1}{2}xy{V_{S.BCD}} = \dfrac{{xy}}{4}V\).
\( \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.NPM}} = \left( {\dfrac{{xy}}{2} + \dfrac{{xy}}{4}} \right)V = \dfrac{{3xy}}{4}V\).
Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{{3xy}}{4} \Leftrightarrow x + y = 3xy\) \( \Leftrightarrow x\left( {3y - 1} \right) = y\).
Do \(x,\,\,y > 0\) nên \(3y - 1 > 0 \Leftrightarrow y > \dfrac{1}{3}\), khi đó ta có \(x = \dfrac{y}{{3y - 1}}\,\,\left( {y > \dfrac{1}{3}} \right)\).
Ta có \(\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{x + y}}{4} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{y}{{3y - 1}} + y} \right) = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{3{y^2}}}{{3y - 1}}\,\,\left( {y > \dfrac{1}{3}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{3{y^2}}}{{3y - 1}}\) ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( y \right) = \dfrac{{6y\left( {3y - 1} \right) - 3{y^2}.3}}{{{{\left( {3y - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( y \right) = \dfrac{{9{y^2} - 6y}}{{{{\left( {3y - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy \(f\left( y \right)\) đạt GTNN bằng \(\dfrac{4}{3}\) tại \(y = \dfrac{2}{3}\).
Vậy \(\min \dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
