Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi

Câu hỏi số 410226:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)} dx = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)} dx\).

A. \(I = 5\).

B. \(I = \dfrac{5}{2}\pi \).

C. \(I = 5\pi \).

D. \(I = 10\pi \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410226

Phương pháp giải

- Biến đổi \(I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \).

- Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \pi - x\).

- Sử dụng tính chất sin bù: \(\sin \left( {\pi - x} \right) = \sin x\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \)

Xét \({I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \), đặt \(t = \pi - x \Rightarrow dt = - dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{I_1} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right)\,} dt\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin t} \right)\,} dt\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\pi - x} \right)f\left( {\sin x} \right)\,} dx\\\,\,\,\,\,\, = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)\,} dx\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)\,} dx\\ \Rightarrow I = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx = 5\pi .\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.