Cho hình nón có chiều cao bằng a. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua
Cho hình nón có chiều cao bằng a. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng \(\dfrac{a}{3}\), thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Giả sử thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm một khoảng \(\dfrac{a}{3}\) là tam giác \(SAB\). Gọi \(O\) là tâm đáy của hình nón.
- Xác định khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón.
- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Giả sử thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm một khoảng \(\dfrac{a}{3}\) là tam giác \(SAB\), ta có \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\).
Gọi \(O\) là tâm đáy của hình nón, gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{a}{3}\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{8}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow OM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\end{array}\)
Lại có \(SM = \dfrac{{SO.OM}}{{OH}} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{a}{3}}} = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}\), tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SM = \dfrac{1}{2}AB\).
\( \Rightarrow AB = 2SM = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}\) \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAM\) ta có:
\(OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{3\sqrt 2 a}}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy thể tích khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{5\pi {a^3}}}{{12}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
